03中性面和与中性面垂直的平面

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Q 03中性面和与中性面垂直的平面

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202502221029目前来说,这个交流发电机吧,是应该放在我“父母”的那厢的,假设磁场的方向是垂直于“窗户”射入的,那么必然会垂直射入到“屏风”上面,将这个屏风可以理解为交流发电机的转子!

线圈在匀强磁场中匀速转动时产生的交流电

1. 中性面与磁场垂直的平面

1.1 中性面

• 所谓中性面，是指与磁场垂直的平面。线圈在转动一周的过程中，会两次经过中性面。接下来，咱们从磁通量、磁通量的变化率、感应电动势三个方面来说明中性面的特殊性。

• 首先，在线圈处于中性面时，由于磁感线垂直穿过线圈，磁通量$\Phi$是所有时刻中最大的。

• 其次，这时线圈的四个边都不切割磁感线，因此线圈中电动势为零。由于电动势跟磁通量的变化率成正比，既然电动势为零，那么磁通量的变化率也为零。

1.2 线圈与中性面垂直时

• 再看另一个特殊位置，线圈与中性面垂直时。由于线圈与磁场平行，没有磁感线穿过线圈，所以线圈的磁通量为零。

1.3 假设条件

• 假设这是一个矩形线圈。AB的边长为$l_1$，BC的边长为$l_2$，转轴刚好在线圈中央，且角速度为$\omega$。这样AB和CD边的速度$v$都是$\frac{1}{2}{l}_2\omega$，BC和AD边依然不切割磁感线，但AB边刚好垂直切割磁感线向下运动，产生的电动势可以这样表示，方向由B指向A；CD边垂直切割磁感线向上运动，产生的电动势可以这样表示，方向由D指向C。

• 由于此时AB和CD都是垂直切割磁感线，因此线圈中的感应电动势$\epsilon$最大，并且它的大小就等于${\epsilon }_{AB}+{\epsilon }_{CD}$，代入化简一下，也就是$B{l}_1{l}_2\omega$。把$l_1\times l_2$写成线圈面积$S$，所以电动势的最大值就等于$BS\omega$。如果线圈不是单匝而是$n$匝，那这个结果还得再乘个$n$。这是一个非常重要的结果。

1.4 磁通量与电动势的关系

• 当线圈与中性面垂直时，线圈的磁通量为零，但电动势最大为$BS\omega$。这个结果与线圈的形状和转轴位置无关。

• 再来讨论一下磁通量的变化率，因为电动势跟磁通量的变化率成正比，此时电动势最大，因此磁通量变化率也最大，而且可以推出它也等于$BS\omega$。

1.5 图像分析

• 如果用图像来分析刚才的过程，会更加直观。之前你已经知道，如果磁通量是余弦变化，那么感应电动势就是正弦变化。在$t_0$这样的时刻，磁通量最大也就是中性面，此时显然图像的斜率为零，也就是磁通量变化率为零，因此，电动势也为零。而在A、C、E这样的时刻，磁通量为零，表示线圈与中性面垂直，此时图像的斜率最大，也就是磁通量变化率最大，因此电动势也最大。

• 从图中可以看到，电动势是连续变化的。而每一次电动势为零的时刻，也就是每次经过中性面时，电动势的方向就会改变。

2. 总结

• 线圈处于中性面时磁通量最大，磁通量变化率为零，电动势为零；而线圈与中性面垂直时磁通量为零，磁通量的变化率最大，电动势也最大，且最大值为$BS\omega$。

• 此外还要学会在图像上分辨两个特殊位置出现在哪些时刻，以及记住，经过中性面时，电动势和电流方向会改变。

• 好了，知识就先说这么多，快去刷几道题吧。

磁通量的变化是余弦变化，感应电动势的变化是正弦变化的原因与磁场方向和回路的相对位置关系以及法拉第电磁感应定律有关。

1. 磁通量的计算与余弦函数

磁通量 ${\Phi }_B$ 是磁场 $B$ 与回路面积 $A$ 的点积，即：

${\Phi }_B=B\cdot A\cdot \cos (\theta )$

其中，$\theta$ 是磁场方向和回路法线方向之间的夹角。

• 当磁场与回路法线平行时，$\theta =0^{\circ }$，此时 $\cos (\theta )=1$，磁通量最大。

• 当磁场与回路法线垂直时，$\theta =90^{\circ }$，此时 $\cos (\theta )=0$，磁通量为零。

如果磁场或回路发生旋转，夹角 $\theta$ 会随时间变化，从而导致磁通量变化。由于夹角 $\theta$ 通常随时间变化呈周期性（如旋转运动），所以磁通量的变化通常表现为余弦函数的形式。

2. 感应电动势的变化与正弦函数

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 $\mathcal{E}$ 与磁通量的变化速率成正比：

$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$

当磁通量 ${\Phi }_B$ 随时间变化时，感应电动势的变化速率就是磁通量随时间变化的导数。

• 如果磁通量随着时间的变化表现为余弦函数，如 ${\Phi }_B=B\cdot A\cdot \cos (\omega t)$，那么感应电动势就是其导数：

$\mathcal{E}=-\frac{d}{dt}\left(B\cdot A\cdot \cos (\omega t)\right)=B\cdot A\cdot \omega \sin (\omega t)$

这就得到了感应电动势是正弦函数的变化形式。

总结：

• 磁通量是余弦变化的，因为它是磁场强度与回路法线方向之间夹角的函数。

• 感应电动势是正弦变化的，因为它是磁通量变化率的导数，导数运算使得余弦函数转变为正弦函数。

这就是为什么磁通量的变化是余弦变化，而感应电动势的变化是正弦变化的原因。

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The answer. #/Q

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