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交流电的平均值

1. 平均值的概念

你已经掌握了描述交流电的三个物理量：周期、频率和峰值。今天咱们再来学习描述交流电的另一个量——平均值。
提到平均值，要是你能联想到速度平均值，那就太棒了。来回顾一下，看这个图，这是一个变速运动的 $v - t$ 图像。曲线和 $t$ 轴围成的面积就是这一段时间内的位移，用这个面积除以时间 $t$ ，就可以得到0到 $t$ 这一段时间内的平均速度。
再来看这个图，这是某正弦交流电的电压随时间变化的图像。要求0到 $t$ 时间内的平均电压，跟刚才求平均速度一样，只需要用曲线和 $t$ 轴围成的面积除以时间 $t$ 就可以了。对于这种面积对称的图像，显然，在任意的某一个周期内，正负面积相互抵消，所以一个周期内电压的平均值就是零。

讲到这里，你应该很清楚了。如果知道交流电的图像，想要求某段时间内的平均电压，重点就是要想办法求出图像上某部分的面积。但是交流电的图像通常都是曲线，面积往往不好求，那该怎么办呢？没关系，还记得法拉第电磁感应定律吗？当时咱们说过，这个式子中的感应电动势，其实就是在 $Δ t$ 时间内的电压平均值。

举个例子，比如要求刚才这个正弦交流电在 $0$ 到 $\frac{T}{2}$ 时间内的平均电压该怎么算呢？根据前面的分析，重点是要求出磁通量的改变量 $ΔΦ$ 。
还记得产生正弦交流电的线圈在磁场中是怎么旋转的吗？你看， $t = 0$ 时刻，线圈在中性面位置； $t = \frac{T}{2}$ 时刻，线圈转过 $180$ 度之后，又回到中性面。在这个过程中，初状态磁通量 $Φ_{1}$ 为 $BS$ ，末状态磁通量 $Φ_{2}$ 变为了反向的 $- BS$ ，因此磁通量的变化量为 $∣ Φ_{2} - Φ_{1} ∣ = 2 BS$ 。
假设线圈角速度为 $ω$ ，那么半个周期 $\frac{T}{2}$ 就等于 $\frac{π}{ω}$ ，公式里的量就都知道了，代进去化简一下，就得到了半个周期内电压的平均值为 $\frac{2}{π} \times n \times BS \times ω$ 。

电压平均值你会算了，其实交流电的电流也有平均值。那电流平均值又怎么算呢？跟电压一样，如果知道交流电的电流随时间变化的图像，那么用图像上的曲线跟 $t$ 轴围成的面积去除以时间 $t$ ，就可以得到这一段时间内的平均电流。
但是困难还是一样，面积不好求啊，那咱们换种办法。根据欧姆定律，如果能先求出平均电压，那么平均电流就等于平均电压除以电路中的总电阻 $R$ 。平均电压刚才已经解决了，这样求平均电流是不是就很容易了？

一旦得到了平均电流，咱们还可以算出电路中流过的电量 $q$ 。还记得电流强度的定义吗？它是指在单位时间内流过导体某一横截面的电荷量，用式子表示就是 $I = \frac{q}{t}$ ，但这是对恒定电流才成立。
对于咱们研究的交流电，式子中的 $I$ 必须是 $t$ 时间内的平均电流，那么电量 $q$ 就等于平均电流乘上时间 $t$ 。
如果把这个式子变变形，可以得到电量的另一种求法，把平均电流用平均电压来表示写成 $q = \frac{U}{R} \times t$ ，再把平均电压用法拉第电磁感应定律替换掉，即 $\overline{U} = n \frac{ΔΦ}{Δ t}$ ，得到 $q = \frac{n ΔΦ}{Δ t} \times \frac{t}{R}$ 。
你看，这里的 $t$ 和 $Δ t$ 其实是一样的，都表示的是同一段时间间隔，把它俩抵消掉，最后整理成 $q = \frac{n ΔΦ}{R}$ ，这是一个很有用的公式。咱们只需要知道线圈磁通量变化和电阻，就可以求出电路中流过的电量 $q$ ，而且还可以看出流过的电量跟时间 $t$ 没有关系。

总结一下，交流电的电压和电流都有平均值，它们都可以通过相应的图像用面积法求出，但一般情况下图像的面积不好求。通常用法拉第电磁感应定律先求出电压平均值，再根据欧姆定律算出电流平均值。
有了平均电流，流过线圈的电量可以根据 $q = \overline{I} \times t$ 求出，或者也可以按照 $q = \frac{n ΔΦ}{R}$ 这个式子去算。
你都学会了吗？快去做几道题练练手吧。

The answer. #/Q