09正弦交流电有效值的推导

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Q 09正弦交流电有效值的推导

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正弦或余弦交流电有效值与最大值的关系推导

1. 引言

• 这个视频咱来推导正弦或余弦交流电的有效值跟最大值的关系。先说一句，这个内容考试不考，为师只是让你长长见识，别紧张。

• 好了，进入正题，开始推导。

2. 设定与假设

2.1 电流表达式

• 假设一个正弦交流电的$i-t$图像是这样的，它的峰值电流是$I_m$，周期是$T$。那么，电流表达式就是$i=I_m\sin \omega t$，其中角频率$\omega =\frac{2\pi }{T}$。把它接到阻值为$R$的电阻上。

2.2 电阻上的生热

• 在正弦交流电的任意的某个周期内，电阻$R$上的生热$Q_T$显然是个定值。假设电流有效值是$I_{有}$，根据焦耳定律，$Q_T$就等于$I_{有}^{2}RT$。咱们还可以从功率的角度用$Q=Pt$来表示一个周期内的生热$Q$。

3. 周期分析

3.1 第一个周期的电流与功率

• 看这个周期，时间从零时刻开始，所以电流的表达式是$i_1=I_m\sin \omega t$，电阻$R$上的热功率是$P_1=i_1^{2}R$，把$i_1$带进去就是$P_1=I_m^2{\sin }^2\omega tR$。

3.2 第二个周期的电流与功率

• 再来看这个周期，时间从$\frac{T}{4}$开始，所以电流表达式中，这里要多加一个$\frac{T}{4}$，把周期$T=\frac{2\pi }{\omega }$带进去，$i_2=I_m\sin \omega (t+\frac{T}{4})=I_m\sin \omega (t+\frac{\pi }{2\omega })$，再把$\omega$乘进去就是$i_2=I_m\sin (\frac{\pi }{2}+\omega t)$。

• 你看这个$\sin (\frac{\pi }{2}+\omega t)$不就是$\cos \omega t$吗？所以，电流表达式就是$i_2=I_m\cos \omega t$了，那么电阻上的热功率是$P_2=i_2^{2}R$，把$i_2$带进去就是$P_2=I_m^2{\cos }^2\omega tR$。

3.3 功率之和

• 把$P_1$和$P_2$相加，把公因数$I_m^{2}R$提出来写成$P_1+P_2=I_m^{2}R({\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t)$。你看这一项${\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t$是同一个数的正弦和余弦的平方和，那就等于$1$呗。

• 也就是说在这两个周期内，电功率之和$P_{总}t$就等于$I_m^{2}R$，这是个跟时间$t$无关的定值。

4. 计算电热

4.1 总电热

• 所以当时间$t$等于周期$T$时，刚才这两个周期的电热$Q_{2T}$就等于$P_{总}t$乘上$T$，是$I_m^{2}RT$，它是交流电在两个周期内的电热，应该是$Q_T$的$2$倍。

4.2 推导关系式

• 那么就得到这个关系式$2I_{有}^{2}RT=I_m^{2}RT$，化简一下，就可以得到$I_{有}=\frac{\sqrt{2}}{2}{I}_m$，搞定。

5. 电压的有效值与最大值关系

5.1 电压推导

• 如果在表示电热的时候不用电流，而用电压，又可以得到$U_{有}=\frac{\sqrt{2}}{2}{U}_m$，过程我就不讲了，你自己试试看。

6. 总结

• 这就是正弦或余弦交流电有效值的推导。有效值的确等于最大值的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，是不是很简单呢？

• 见识长完了，快去刷几道题吧。

The answer. #/Q

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